INVESTIGACION DE OPERACION II: TEORÍA DE COLAS

TEORÍA DE COLAS

Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la línea de espera.

CONCEPTOS BÁSICOS:

Clientes: Término usado en un sistema de colas para referirse a:

· Gente esperando líneas telefónicas desocupadas.

· Máquinas que esperan ser reparadas.

· Aviones esperando aterrizar.

Instalaciones de Servicio: Este término se usa para referirse a:

· Líneas telefónicas.

· Talleres de reparación.

· Pistas de aeropuerto.

Llegadas: Es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.

Tasa de Servicio: Este término se usa para designar la capacidad de servicio,

por ejemplo:

· Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas

por minuto.

· Una instalación de reparación puede de media, reparar máquinas a

razón una cada 8 horas.

· Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.

Número de servidores de servicio: Es la cantidad de servidores de que disponemos:

· Número de conmutadores telefónicos.

· Número de puestos de reparación.

· Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto.

OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE COLAS

Dada la función de costes anterior, los objetivos de la Teoría de Colas

consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.
Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la Cola: la paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativo entero.

LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La distribución de Poisson es discreta, mientras que la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero.

Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica a un paciente.

MODELO DE COLAS DE UN SOLO SERVIDOR CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL M/M/1

Para este modelo se considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independientes del proceso de llegada.

3.- Sólo hay una unidad de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.

m=tiempo de servicio

l=nº promedio de cliente que llega

-Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

- Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

- Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

- Factor de utilización:

- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:

- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperado en la cola y/o siendo atendidos:

- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:

- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:

MODELO DE COLAS SIMPLE CON SERVIDORES

MÚLTIPLES M/M/n

Para este modelo de considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.

3.- Hay varias unidades de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.